韩国伦理电影网站小乐数学科普：苦觅已久的数学评释注解解开了更多高深的“模面目”——Quanta Magazine

发布日期：2024-09-08 16:09 点击次数：66

新评释注解鉴别高深而强盛的“模面目”韩国伦理电影网站

使用“令东说念主改朝换姓的迂腐”器具，数学家们经管了50年前对于如何对模面目（一类垂危函数）进行分类的猜思，这对数论和表面物理产生了影响。

图片

这个模面目的图形使用了激情和高度姿色了其复数值。

在一个新的评释注解中，一个历久被冷落的数学对象终于成为东说念主们眷注的焦点。

乍一看，模面目——几个世纪以来，其丰富的对称性劝诱了数学家的函数——似乎也曾引起了弥漫的眷注。它们出当今各式万般的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年评释注解费马大定理的要道因素，该定长远决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹纲要中阐述着中枢作用，这是一个束缚发展“大长入数学表面”的捏续致力。它们致使被用来筹办弦表面和量子物理学中的模子。

但是在这些险峻文中出现的模面目属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模面目领有额外的结构，使它们更容易筹办。但是更一般的“非同余”模面目远远杰出它们的友好的同余模面目。“若是你就地取一个模面目，那它是同余模面目的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的根由际遇同余模面目，不然你不要指望。它们格外萧疏。

但是，数学家对非同余模面目知之甚少，尽管它们无处不在。“它们完竣是高深的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的述说很难，并且为筹办在非同余情况下认识模面目而诞生的器具也很难。这让数学家们不细目他们应该试图评释注解什么。

但是，对于非同余模面目的一个主要猜思历久以来一直很隆起：就像沙漠中一个落寞的、不厚实的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜思建议者之一，zzllrr小乐译注）注视到非同余模面目似乎有一个非凡明白的性质，将它们与同余模面目鉴别开来。应该有这样一种公然的方式鉴别两者“真的格外令东说念主讶异，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模面目格外不同，因为非同余模面目蒙眬同余模面目所具有的对称性。但这些互异固然垂危，但可能很玄机，难以察觉。

瞬息之间，这些互异的明白凭证可想而知。

Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察其后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜思。若是这是真的，它将允许数学家在大部分未诞生的非同余对象鸿沟站稳脚跟。通过提供一种纯粹的门径来识别给定的模面目属于哪个类，该猜思还不错将表面物理学中的一个主要形状 - 旨在长远称为共形场论的粒子互相作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，莫得东说念主能评释注解这小数。最终，在 2021 年底，三位数学家奏效了。他们的评释注解似乎诬捏而来，罗致了莫得东说念主期许在这个筹办鸿沟看到的本事。数学家和物理学家当今运转探索这项职责的恶果。

对称性和结构

非同余模面目并不老是被左迁到角落。

在19世纪，数学家刚刚运转发展模面目的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称呼 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种画图复数的门径，复数分为两部分：实数和虚数。模面目输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模面目常常使用此映射进行描写。）

图片

同余模面目（左）具有非同余模面目（右）所蒙眬的附加结构。

模面目的很多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊集合或“群”界说的。在模面目中，这四个数字遥远是整数。至关垂危的是，与细目其某些属性的矩阵关系的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无穷多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对纯粹的限定来描写。举例，在统统矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素齐比11的倍数多 1。

不错用这些关系界说的群——以及与这些群关系的模面目——是被闲居筹办的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的集合不成以这种方式用很好的限定来表征，这使得它们偏激关系的模面目不一致。

直到 1930 年代后期——约莫在第二次天下大战运转时——同余模面目的筹办才运转超越非同余模面目的筹办。就在其时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）诞生了一个器具箱，使他不祥细目模面目的很多属性，并将它们与其他垂危的数学对象关系联。

Hecke的门径只适用于同余群偏激模面目。非同余群蒙眬使Hecke器具箱灵验的额外结构。“当你出动到非同余天下中时，你在同余天下中领有的这个东西就会消亡，”Franc说。

因此，非同余模面目似乎注定要永远被冷落。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，隐匿在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的合营者Bryan Birch（BSD猜思另一共同建议者，zzllrr小乐译注）也曾写说念的那样，“固然结构更高深，但似乎简直相通丰富。”但是当波及到访谒这种结构时，数学家们却不知所措。他们致使不知说念从那处运转。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了韩国伦理电影网站。

整洁的方法

这两位数学家思知说念更多对于非同余模面目，以及他们可能荫藏的任何玄机。

“这老是数学向上的方式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你筹办具有格外特殊属性和更多结构的东西。然后你去详尽它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。

为了筹办给定的模面目，数学家常常将其清楚为称为q伸开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无穷和，然后分析该伸开的系数。家喻户晓，若是给定的模面目是同余的，那么系数的分母永远不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer蓄意了q伸开式的分数和模面目的分数。当他们这样作念时，他们注视到，若是模面目是不同余的，那么其关系数列中的分母就会无适度地增长。“他们实际上不错对这些高深的非同余面目说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东说念主女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高级筹办院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，答复了“一个一相宁肯的思法”：他思利用他们一直在筹办的本事来经管一个完竣不关系的问题，即无界分母猜思。

鉴别这两种类型的模面目真的这样容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察恶果，标明无界分母可能瑕瑜同余模面目的深广象征。这个猜思“格外惊东说念主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的方法来决定一个模面目是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个格外节略的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这简直好得令东说念主难以置信，”他补充说。“东说念主们真的不指望出现这样的遗址。”

事实上，莫得东说念主能评释注解无界分母的猜思。李文卿和其他少数东说念主不祥评释注解对于非同余模面目的特定族是正确的，但数学家不知说念如何处理一般情况。

然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高级筹办所的Vesselin Dimitrov整个发布了一份50页的评释注解。“这太神奇了，真的很出人意想，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对如何处理这个问题莫得任何思法。”

作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成熟习说念路网罗的第一步。“咱们通过为最纯粹的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了浮浅的孝顺，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并莫得入部下手经管无界分母猜思。在2019年底，他们但愿评释注解某个数字（黎曼zeta函数的访佛值）是极度的——就像2的平方根相通，它不成写因素数。（他们的最终指标是评释注解这个数字和其他访佛的数字是超越的，这意味着，与数字π和e相通，它们不成写为具有整数系数的多项式方程的解。）

从名义上看，这个问题是完竣无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东说念主发了一封电子邮件，他在电子邮件中描写了 “一相宁肯的思法”：也许他们在往时一年中诞生的本事不错再行用于评释注解无界分母猜思。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了评释注解。

图片

在评释注解了无界分母猜思之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）不时与她的两位合著者合营，筹办起首引发评释注解的问题。“咱们正在致力完成咱们运转的事情，”她说。

起首，他们接洽了两个空间：统统具有有界分母的模面目的空间，以及统统同余模面目的空间。根据无界分母猜思，这两个空间应该是换取的。由于空间得志某些属性，数学家只需要评释注解它们的大小换取。这样作念将自动清楚它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地蓄意第二个空间的大小，从而赢得一种同余模面目的约略计数。但是很艰巨到第一个空间的大小估量。他们必须逢迎很多不同的本事——包括来自超越数论的本事。

使用这些门径，他们标明具有有界分母的模面目的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模面目的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是评释注解的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的意识智商作念到这小数。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的方式评释注解了这种空间大小的界，可能给他们的本事带来更闲居的利用。）

“这瑕瑜常古典、灿艳的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三东说念主需要减轻两个空间之间的差距。这样作念将细目任何具有有界分母的模面目必须是同余的。

图片

因此，他们假定了违反的情况：存在具有有界分母的非同余模面目。根据界说，它将糊口在Calegari、Dimitrov和唐试图减轻的瑕疵中。然后，这三东说念主标明，这种非同余模面目的存在自动清楚了很多其他具有有界分母的非同余模面目的存在。仿佛整片丛林齐是从那颗种子长出来的。

但他们也曾细目了瑕疵的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余面目。

这意味着即使是一种这样的面目也不可能存在。他们评释注解了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜思。

数学家发现职责中使用的本事比恶果自身更酷爱。“这些思法以前从未用于筹办模面目的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模面目的筹办起首是复分析鸿沟的一部分，但咫尺的职责一直是数论和代数几何的范围。他说，这篇新论文象征着对复分析的总结：“这是一个令东说念主改朝换姓的迂腐不雅点。

寻找新表面

数学家并不是唯独对无界分母猜思感到爽气的东说念主。它也出当今表面物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer运转的故事同期伸开。数学家们注视到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模面目之间有一种奇怪的估量。j函数的系数精准地反应了魔群的某些性质。

其后的筹办标明，这种估量是由于群和模面目齐与称为二维共形场论的垂危粒子互相作用模子估量。

但是，将魔群与j函数估量起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。固然这些表面莫得描写咱们糊口的六合，但长远它们不错对更现实的量子场论的行径产生新的观点。

因此，物理学家不时通过不雅察它们关系的模面目来筹办共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模面目宗旨，称为向量值模面目。

为澄莹解特定共形场论的情况，你必须评释注解它的模面目是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错运转描写共形场论，致使不错发现你不知说念要寻找的新场论。这对于对统悉数形场论进行分类的捏续致力尤其垂危 - 物理学家称之为模携带的形状。

“一朝你知说念它是一个同余模面目，它使你不祥在这个形状中取得浩大的向上，”Mason说。

物理学家诞生了一个框架，允许他们为正在筹办的模面目假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学评释注解——固然其他数学家其后不祥提供这样的评释注解，但他们的论点只在某些环境中灵验。根据Mason的说法，它还波及通往同余的“一条格外障碍、纵横交叉的说念路”，尽管他也指出，这条纵横交叉的说念路产生了垂危的观点。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜思的评释注解冲破了这一切。这是因为，事实评释注解，与共形场论关系的模面目老是具有整数系数。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母遥远是有界的。由于无界分母猜思指出有界分母仅与同余模面目关系，因此不再需要作念出假定。“你致使不需要了解[共形场论]，”唐说。新的评释注解会自动为统统这些情况提供同余性 —— 以免费的方式。

图片

芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）筹办模面目和关系数学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。当今终于经管了。

“这真的是一个遗址，”Mason说。“这仅仅遗址般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他也曾运转将恶果利用到我方的职责中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我思要经管的恶果提供了一个格外受接待的捷径。它削减了深广我无法看到的潜在职责。”

它还将模携带形状和其他恶果置于更强盛的数学基础上。“这将使数学家不祥再行评释注解[以前的]恶果，或者深信它们，”Mason说。

“我合计这真的会产生影响，非凡是在数学方面，仅仅真的，真的把事情估量起来，果然地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证色泽的一年里，Calegari、Dimitrov和唐不时他们的合营。他们当今又回到了超越数论中起首引发他们对猜思酷爱的问题类型。“咱们正在致力完成咱们运转的事情，”唐说。事实上，他们也曾用他们的本事来评释注解几个感酷爱的数字是极度数。

“他们真的把[门径]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到格外爽气。”

这些门径也可能适用于数论中的其他问题。

撇开本事不谈，无界分母猜思的经管象征着更好地长远非同余模面目的第一个垂危里程碑之一。“这是一个了不得的建设，咱们不错通过这种方式在不同余面目上取得一些进展，”Franc说。“我对将来10年，20年感到爽气，望望会发生什么。”